Тема 05. СЕРЕДНІ ВЕЛИЧИНИ
Питання теми
• Сутність середньої величини
• Середня арифметична величина
• Інші види середніх величин
• Структурні середні: мода і медіана
Основні терміни теми: осереднювана ознака, ваги, частоти, медіана, мода.
Середню величину використовують тоді, коли значення ознаки, яка досліджується, змінюється залежно від конкретних умов.
Багато ознак, які притаманні окремим об’єктам відрізняються за величиною. Для характеристики статистичної сукупності користуються середньою величиною, яка відображає загальний рівень, загальну міру варіюючої ознаки.
Середні величини в статистиці - це узагальнюючі показники, які характеризують рівень варіюючої ознаки у якісно однорідній сукупності. Будь-яка середня величина характеризує сукупність за однією ознакою. Середня надає характеристику центру розподілу.
При обрахуванні середньої величини відбувається абстрагування від несуттєвих особливостей явища, від кількісних значень ознаки у кожному конкретному випадку. Середня – це абстрактна величина. Абстрагуючись від індивідуальних відмінностей ознаки, середня не відривається від конкретних властивостей усієї сукупності. Вона намагається відобразити ці властивості у вигляді узагальнюючої величини.
Середні величини використовують у різних галузях знань особливо важливу роль вони відіграють у статистиці та економіці. Їх використовують для узагальнюючої характеристики рівнів суспільних явищ, для порівняння двох і більше об’єктів. Важливе значення мають середні величини у економічному аналізі.
Для вивчення сукупності з різних боків використовують систему середніх величин як на мікрорівні, так і на макрорівні.
Середні величини можуть бути абсолютними або відносними залежно від вихідної бази для розрахунку. Найбільш поширеною в економічних розрахунках є середня арифметична (проста або зважена). Середню арифметичну просту обчислюють додаванням окремих величин і діленням суми на кількість величин.
Позначивши індивідуальні значення ознаки через , кількість індивідуальних величин - ,середню - , а суму – знаком , можна записати:
Наприклад, маємо такі дані про місячний виробіток робітників бригади: 25, 27, 30, 32, 34 тис. грн. Для отримання середнього виробітку необхідно загальний виробіток бригади поділити на кількість робітників.
Середня арифметична проста використовується у тих випадках, коли кожне індивідуальне значення ознаки зустрічається один або однакове число разів. Розрахунок ведеться за незгрупованими одиницями сукупності. Для більшості соціально-економічних явищ окремі значення сукупностей, які досліджуються , зустрічаються не один раз, а багато разів, при цьому неоднакове число раз. Значення представлені рядом розподілу.
Середню арифметичну зважену застосовують тоді, коли різні варіанти ознаки у сукупності, яка досліджується, повторюються неоднаково. Число , яке показує скільки повторюється даний варіант називається вагою. Вагами можуть бути частоти або частки (відносні величини структури) інші величини (абсолютні показники).
Якщо індивідуальні значення ознаки (варіанти) позначити через , а числа, які показують скільки разів повторюється варіанти (частоти) - , то середня арифметична зважена дорівнювати:
Середня арифметична зважена дорівнює сумі добутків варіант на їх частоти або вагу , поділену на суму частот. Якщо використати замість частоти частку , то формула буде мати такий вигляд
Таблиця 5.1. Розподіл сімей населеного пункту за кількістю дітей
Групи сімей населеного пункту за кількістю дітей, чол. Кількість сімей
одиниць %
0 250 18,5
1 580 43,0
2 435 32,2
3 50 3,7
4 20 1,5
5 10 0,7
6 5 0,4
Всього 1350 100,0
Визначені середні арифметичні за наведеними формулами дали однаковий результат. Для визначення середньої арифметичної інтервального ряду знаходимо середину кожного інтервалу. В інтервальному ряді з відкритими інтервалами (першої, останньої груп) для першої групи величина береться такою, як у наступній групі, а для останньої групи – інтервал попередньої групи.
При підрахунках середніх із відносних величин зважування відбувається за сумарними абсолютними величинами. За даними про обсяг виробленої продукції та виконаного плану визначимо середні процент виконання плану по сукупності підприємств галузі.
Таблиця 5.2.
№ підприємства Обсяг продукції за планом, тис. грн. Процент виконання плану
1 550 90,6
2 670 103,0
3 890 101,4
Разом 2110 99,1
При розрахунку середніх величин використовують також дані, які є самі по собі середніми величинами. Маємо такі дані по підприємству
Таблиця 5.3.
№ цеху Середня місячна заробітна плата, грн. Кількість робітників, чол. Фонд заробітної плати, тис. грн..
1 340 150 51,0
2 320 200 64,0
3 360 120 43,2
Разом 470 158,2
Місячна заробітна плата по кожному з цехів є середньою групи. ЇЇ можна назвати груповою середньою. Для того, щоб підрахувати середню заробітну плату по підприємству, необхідно рахувати середню з середніх. У цьому випадку кожна групова середня береться як варіанта , а число одиниць в кожній групі – як частота . Виконаємо розрахунок
Обчислену таким чином середню на відміну від групових називають загальною. Середня величина первинної ознаки визначається як середня на одиницю сукупності. Середня величина вторинної ознаки визначається так само як і сама ознака (методом розрахунку). Її можна визначити як відношення однієї ознаки на одиницю іншої. По сукупності це можна зробити за допомогою відношення підсумків ознак, що вивчаються.
Середня арифметична має такі властивості:
1) якщо всі варіанти збільшити (або зменшити) на якесь число , то середня арифметична збільшиться (або зменшиться) на це число
;
2) якщо всі варіанти збільшити (або зменшити) в разів, то середня арифметична збільшиться (або зменшиться) в разів.
;
3) якщо всі частоти поділити або помножити на яке-небудь число, то середня арифметична від цього не зміниться
;
4) добуток середньої на суму частот дорівнює сумі добутків варіант на частоти
;
5) сума відхилень варіант від середньої арифметичної дорівнює нулю
;
Використання властивостей середньої арифметичної дозволяє спрощувати її розрахунок. Обчислення групових середніх передбачає розподіл сукупності на групи та підгрупи за певними істотними ознаками. В практичній та науковій діяльності при дослідженні явищ та процесів суспільного життя загальні середні необхідно доповнювати їх груповими.
Загальні середні мають значення тільки тоді, коли вони відображають однорідні загальні властивості явищ та процесів, які досліджуються. Без врахування зміни структури сукупності загальні середні втрачають свій сенс. Розглянемо це твердження на такому прикладі. Маємо дані про собівартість одиниці однорідної продукції, яка вироблена механізованим або ручним способом.
Таблиця 5.4.
Групи підприємств за кількістю працівників, чол.. Вироблено продукції, тис. грн.. Собівартість одиниці продукції, грн
Механ. способом Ручним способом Механ. способом Ручним способом
до 500 30 20 60 80
500 – 2500 10 20 30 40
2500 і більше 10 60 20 30
Всього 50 100 46 42
Розрахуємо середню собівартість одиниці продукції, яка вироблена механізованим та ручним способом за формулою середньої арифметичної зваженої
Висновок, який можемо зробити на підставі отриманих середніх буде невірним: ручним способом виготовлення деталей дешевше ніж механічним.
Для уникнення впливу різних структур сукупностей на величину середньої використовують метод стандартизації. Суть його полягає у тім, що розрахунок середньої здійснюють при однаковій структурі +поріднених сукупностей. Структуру однієї сукупності беруть як стандарт, який і використовують у подальших розрахунках. За стандарт візьмемо розподіл підприємств по виробництву продукції механізованим способом.
Визначаємо структуру виробництв продукції механізованим способом і заносимо отриманні дані у таблицю
Таблиця 5.5.
Групи підприємств за кількістю працівників, чол
до 500 60 80 4800
500-2500 20 40 800
2500 і більше 20 30 600
Всього 100 6200
Отримана середня свідчить про те, що виробництво продукції ручним способом дорожче, ніж механізованим. Таке твердження є вірним.
Не завжди з формулою середньої арифметичної можна отримати правильну середню величину. Для визначення середньої арифметичної необхідно мати варіанти і частоти. В деяких випадках відомі індивідуальні значення ознаки та добутки , а частоти невідомі. Позначимо через , звідси . Підставимо у формулу середньої арифметичної замість та отримаємо: Отримана середня має назву середньої гармонічної (гармонійної) і позначається . Вона використовується тоді, коли невідомі ваги , а відомі .
Наприклад маємо такі дані про витрати часу на одну деталь. Підприємства виробляють однакову продукцію
Таблиця 5.6.
№ підприємства Витрати часу на одну деталь, людино-години Відпрацьовано всього, людино-годин
1 0,9 2250
2 1,1 2200
3 1,0 1000
Разом 5450
У випадках, коли добутки одинакові або дорівнюють одиниці використовується середня гармонічна проста. Вона має таку формулу
де окремі варіанти, - число варіантів.
Для характеристики змін явищ в часі поряд з середньою арифметичною використовують інші середні.
Якщо у хронологічному ряду наведені моменті показники, то для обчислення середньої вони замінюються півсумами значень на початок та кінець періоду. якщо моментів більше ніж два та інтервали між ними рівні, то середня обчислюється за формулою середньої хронологічної.
Наприклад маємо дані про залишки товарів на складі підприємства на початок кожного кварталу, тис. грн. 1.01 – 208; 1.04 – 240; 1.07 – 285; 1.10 – 275; 1.01 наступного року – 212. Середньоквартальний залишок товарів на складі підприємства
У деяких випадках необхідно рахувати середній коефіцієнт зростання на одиницю часу. Важливо знайти таку середню, яка б виражала відношення між першим та останнім періодами. Таке відношення дорівнює добутку окремих коефіцієнтів зростання. формула середньої геометричної простої
Виробництво продукції на підприємстві характеризується такими даними
Таблиця 5.7.
місяць Вироблено продукції, тис. грн Щомісячні коефіцієнти зростання
січень 290,5 -
лютий 313,2 1,078
березень 308,8 0,986
квітень 370,0 1,198
травень 360,4 0,974
червень 350,7 0,973
Разом 1993,6
Середній коефіцієнт зростання можна визначити за даними останнього і першого рівнів ряду. якщо перший рівень ряду позначимо через , а останній - , то формула буде мати такий вигляд:
У наведеній формулі означає не число коефіцієнтів, а число дат.
Для визначення середніх темпів зростання (приросту) за неоднакові проміжки часу використовують середню геометричну зважену
де - період часу, протягом якого зберігся даний темп зростання.
Таблиця 5.8. Дані про виробництво продукції на підприємстві
Період часу Тривалість періоду, роки Коефіцієнти зростання
1992-1994 3 0,98
1995-1996 2 1,01
1997-1999 3 1,02
Разом 8
або
У тих випадках, коли необхідно знайти середню з величин, які мають вираз у вигляді квадратних функцій, використовують середню квадратичну. Середні діаметри труб, колес, середні сторони квадратів визначаються за допомогою середньої квадратичної.
Середню квадратичну просту розраховують за формулою
Наприклад, маємо три квадрати зі сторонами . Визначимо середню сторону квадратів
Середня квадратична зважена визначається за формулою
Головною сферою використання середньої квадратичної є вимірювання варіації. Складність окремих суспільних явищ зумовила появу інтегральних комплексних оцінок. Конструювання інтегральних оцінок ґрунтується на стандартизації показників. Їх зводять до одного виду. У вивченні суспільних явищ поширюється рейтингові оцінки у вигляді багатовимірних середніх. Сутність багатовимірних середніх полягає у заміні індивідуальних значень множини показників елемента сукупності відносними величинами.
Для характеристики величин варіюючої ознаки в статистиці використовують моду і медіану.
Визначення моди відбувається по різному в залежності від того, як надано варіюючи ознаку: у вигляді дискретного ряду чи інтервального.
Визначення моди у дискретному ряді відбувається візуально без підрахунків. Знаходиться найбільша частота, якій відповідає певне значення ознаки.
Скористаємось наведеними раніше даними дискретного ряду розподілу
При визначенні моди для інтервального варіаційного ряду необхідно спочатку знайти модальний інтервал, в межах якого знаходиться мода, а потім – наближене значення модальної величини ознаки.
Мода розраховується за такою формулою:
,
де - нижня межа модального інтервалу,
- величина інтервалу, - частота модального інтервалу,
- частота предмодального інтервалу,
- частота після модального інтервалу.
Розглянемо розрахунок моди з інтегрального ряду на прикладі розподілу робітників за рівнем виробітку.
Таблиця 5.9.
Групи робітників за місячним виробітком, тис. грн Кількість робітників, чол.. Нагромаджені частоти
24,0-26,0 4 4
26,0-28,0 10 14
28,0-30,0 7 21
30,0-32,0 3 24
32,0-34,0 1 25
Всього 25
Медіана – це величина ознаки, що займає середнє положення у варіаційному ряді, в якому варіанти розміщені в порядку зростання або спаду.
Для визначення медіани у дискретному ряді підраховують напівсуму частот, а потім визначають яке значення показника припадає на неї.
(дані попереднього прикладу табл. 5.1)
Це означає, що 29 тис. грн. Розділяє ряд на дві рівні частини.
При підрахунку медіани для інтервального варіаційного ряду спочатку визначають медіанний інтервал, в межах якого знаходиться медіана, а потім – наближене значення медіани за формулою:
де - нижня межа інтервалу, який містить медіану, - величина інтервалу, сума частот ряду, - сума нагромаджених частот інтервалів, які передують медіанному, - частота медіанного інтервалу.
це означає, що половина робітників має виробіток до 27,7 тис. грн.., а інша – понад 27,7.
Достоїнства моди і медіани полягають у тому, що:
- значення моди завжди, а значення медіани у більшості випадків збігаються з одним із значень дискретної ознаки;
- при розрахунках моди і медіани не беруться до уваги крайні значення ознаки. Якщо вони нетипові, то мода і медіана можуть дати більш точне уявлення про середню ніж середня арифметична або середня гармонічна. Це пов’язано з тим, що на них не вплинуть нетипові значення. Мода і медіана залежать від інтервалу групувань. Мода і медіана не можуть замінити середню узагальнюючу величину. Величина моди і медіани, як правило, відрізняються від величини середньої. Вони можуть з нею збігатися у випадку симетрії варіаційного ряду.
Питання для самоперевірки
1. Які види середніх величин використовуються в статистиці?
2. Умови використання середньої арифметичної простої та середньої арифметичної зваженої
3. Властивості середньої арифметичної величини
4. Використання середньої гармонічної величини
5. Використання середньої геометричної
6. Використання середньої квадратичної
7. Вплив структури сукупності на величину середньої
8. Визначення моди та медіани в ряду розподілу